روشی جدید در حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیر خطی مرتبه چهار

مطالعه ی روش های جدید برای حل معادلات دیفرانسیل موضوع مورد علاقه ی فیزیک دانان و ریاضی دانان می باشد و استفاده از روش لی در حل معادلات یکی از همین روش هاست. از دیدگاه ریاضیات کاربردی این روش یک ابزار مناسب برای مطالعه ی مسائل مربوط به علم و تکنولوژی می باشد. این روش مستقل از نوع معادله(خطی و غیرخطی) و متغیر موجود در معادله می باشد. اگر چه این روش یک روند کلی و عمومی برای حل معادلات دیفرانسیل می باشد ولی در مقایسه با تعداد معادلات دیفرانسیل در مسائل عملی و نظری، کمتر مورد استفاده قرار گرفته است. البته امروزه چندین کاربرد گروه لی شناخته شده است و در رشته های مکانیک، فیزیک جامدات، هیدرودینامیک و ریاضیات محض و کاربردی و ... قابل استفاده است‎.‎‎‎ سوفوس لی‎‎‎ زمستان 1874-1873 ‎را به عنوان تاریخ تولد نظریه ی خود از گروه های لی معرفی کرده است‏، اما هاوکینز‎‎‎‎ نشان داد فعالیت های تحقیقاتی لی در مدت چهار سال‏، از پاییز 1869 تا پاییز 1873‏، منجر به ایجاد نظریه شده است. برخی از ایده های اولیه ی لی با همکاری کلاین‎‎‎‎ بود. لی و کلاین از اکتبر سال 1869 تا 1872‏، همدیگر را ملاقات می کردند. لی اعلام کرد نتایج اصلی در سال 1884 به دست آمد. لی تمام مقالات خود به غیر از اولین مقاله را در مجلات نروژی منتشر کرد. یک ریاضی دان جوان آلمانی به نام انگل‎‎‎‎ در سال 1884 برای کار روی یک رساله منظم از نظریه ی گروه های پیوسته به لی پیوست و نتیجه ی این تلاش ها کتاب سه جلدی «نظریه ی تبدیل گروه ها» بود که در سال های 1888‏، 1890 و 1893 چاپ شد. در این پایان نامه به حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (pde) غیر خطی مرتبه ی چهار می پردازیم و برای حل این نوع معادلات استفاده از روش لی در نظر گرفته شده است ، زیرا با استفاده از ویژگی های گروه لی تعداد متغیرهای مستقل در معادله ی اصلی کاهش داده می شود که نسبت به معادله ی اصلی مفیدتر و قابل استفاده تر می باشد. برای حل معادله، تقارن های معادله ی اصلی را یافته و با استفاده از گروه های متقارن جبری و ویژگی های گروه های لی به حل معادلات‎ می‎پردازیم. ایده ی اولیه ی این پایان نامه از مقاله ای با عنوا‎ن‎‎ a note on new solitary and similarity class of solutions of a fourth-order non-linear evolution ‎equation‎ ‎‎ گرفته شده است.‎ در فصل اول، مفاهیم و تعاریف اولیه و مطالب مورد نیاز فصل های بعدی آورده شده است. در فصل دوم‏، روش حل معادلات دیفرانسیل جزئی با گروه های لی بیان شده است. در این روش ابتدا گروه تبدیلات لی مربوط به معادله ی دیفرانسیل جزئی را به دست آورده و با استفاده از جواب های ناوردا معادله را به معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می کنیم.‎ در فصل سوم‏، به حل تحلیلی معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه ی چهار و غیرخطی زیر با روش لی می پردازیم . و در پایان پیوست های مورد نیاز پایان نامه را نشان داده ایم.‎